Математик дал модели задачу, над которой он с аспирантом работал не один месяц. Через пять минут получил явную формулу, которая улучшила его собственный опубликованный результат. И не на чуть-чуть: на логарифмический множитель.
Паата Иванишвили, профессор из UC Irvine, специализирующийся на гармоническом анализе и теории вероятностей, выложил результат в X вчера. У него был ранний доступ к Grok 4.20, внутренней бете xAI, которую Илон Маск анонсировал на ближайшие недели. Задача касается так называемых функций Беллмана. Тут нужно объяснить.
Что конкретно нашла модель
Техническая часть: Иванишвили с аспирантом Натанаэлем Альпаем работали над нижними оценками для диадических квадратичных функций, применённых к индикаторным функциям множеств. В февральской статье они доказали оценку через гауссов изопериметрический профиль I(p), который при малых p ведёт себя как p√(log(1/p)).
Grok 4.20 выдал другое. Явная формула: U(p,q) = E√(q² + τ), где τ — время выхода броуновского движения из интервала (0,1) при старте из точки p. На границе U(p,0) получается E√τ, что при p→0 ведёт себя как p log(1/p).
Это улучшение на корень в логарифмическом множителе. Оценка к тому же точная: лучше уже не сделать.
До этого лучшая известная нижняя оценка принадлежала Беркхолдеру, Дэвису и Ганди, классика мартингальных неравенств: |A|(1-|A|). Иванишвили с Альпаем улучшили до |A|(1-|A|)√(log(1/(|A|(1-|A|)))). Grok дотянул до |A|(1-|A|)log(1/(|A|(1-|A|))). И снова: точная оценка.
Зачем здесь функции Беллмана
Функции Беллмана пришли из стохастического оптимального управления. Есть задача оптимизации на бесконечномерном пространстве функций, а приём Беллмана сводит её к решению конечномерного нелинейного уравнения в частных производных. Александр Волберг из Michigan State, научный руководитель Иванишвили, написал книгу про применение этой техники в гармоническом анализе.
Связь с вероятностью: функции можно интерпретировать как мартингалы. Функция Беллмана тогда кодирует информацию об оптимуме и оптимизаторах. Метод продуктивен для оценок сингулярных интегралов, потому что под классическими операторами прячутся вероятностные структуры.
Найти правильную функцию Беллмана для конкретной задачи тяжело. По сути угадываешь решение нелинейного уравнения, которое ловит экстремальное поведение. То, что Grok выдал явную формулу через времена выхода броуновского движения, намекает: модель нащупала естественную вероятностную интерпретацию, которая из аналитической постановки была неочевидна.
Странная связь с функцией Такаги
Раньше Иванишвили писал, что точная нижняя оценка для родственной задачи (квадратичная функция S₁) совпадает с функцией Такаги. Это фрактальная кривая 1903 года, непрерывная везде, но нигде не дифференцируемая. График похож на горную цепь с бесконечными зазубринами.
Удивительно другое: функция Такаги связана с гипотезой Римана. Есть результат 2000 года Канемицу и Ёсимото: гипотеза Римана эквивалентна утверждению о поведении функции Такаги на дробях Фарея.
Новый результат от Grok даёт другую функцию, гладкую вместо фрактальной, из того же семейства изопериметрических профилей. Гауссов изопериметрический профиль, с которым она связана, имеет свою глубокую историю в теории вероятностей и геометрии.
И что с того?
Иванишвили скромничает: результат ничего не изменит завтра. Это шаг к пониманию, насколько малой может быть квадратичная вариация булевых функций, конкретно когда квадратичные функции тестируются на индикаторах множеств.
Квадратичные функции не ограничены в L¹. Это известно. Вопрос был в точности: как именно ведёт себя расходимость на простейших тестовых случаях?
Но метаистория интереснее. Математик дал ИИ задачу из своей исследовательской области, и ИИ выдал результат, улучшающий опубликованную работу. За пять минут. Такого пока не должно было случиться.
Проверено ли это?
Здесь я обычно скептичен. ИИ, выдающий красивые формулы с тонкими ошибками — норма. Но Иванишвили серьёзный исследователь, недавний стипендиат Саймонса, работающий именно в этой области функций Беллмана и гармонического анализа. Он не стал бы публиковать это походя.
Полностью ли верифицирован результат со всеми краевыми случаями и полным доказательством — из треда неясно. Сама формула имеет чистую вероятностную интерпретацию, что хороший знак. Времена выхода броуновского движения хорошо изучены, их распределения известны.
Асимптотику я сам проверить не могу. Хорошо бы высказался кто-то с опытом в мартингальной теории.
Контекст про Grok 4.20
Модель публично недоступна. Grok 4.1 вышел в ноябре 2025 и сейчас на 1483 Elo в рейтинге LMArena для режима рассуждений. Grok 4.20 тестировался в «Alpha Arena» от xAI в конце 2025-го — торговом соревновании между ИИ-моделями, где он выиграл с 12,11% совокупной доходности.
Маск сказал, что до Grok 4.20 осталось 3-4 недели. Grok 5 с предполагаемыми 6 триллионами параметров намечен на первый квартал 2026.
Тайминг поста Иванишвили, как раз когда xAI раскручивает следующий релиз, вряд ли случаен. Но математический результат от этого менее интересным не становится.
